Harry Markowitz의 포트폴리오 이론과 효율적 투자선

현대 포트폴리오 이론 (Modern Portfolio Theory 이하 MPT)

포트폴리오 이론은 해리 마코위츠에 의해 체계화된 이론으로 자산을 분산 투자하여 포트폴리오를 만들게 되면 분산투자 전보다 위험을 감소시킬 수 있다는 이론이다. - Wikipedia

 

지배원리와 효율적투자선

'계란을 한 바구니에 담지 마라'라는 말을 들어보셨을 겁니다. 한 바구니에 담긴 계란은 떨어지게 되면 다 같이 떨어지기 때문에 여러 바구니에 나눠 담아 리스크를 분산하라는 의미로 쓰입니다. 포트폴리오 이론과 함께 지배원리라는 것을 알아야 합니다.

지배원리는 시장에 존재하는 무수히 많은 자산을 조합하면, 수많은 포트폴리오를 만들 수 있고 이러한 포트폴리오들 중에서 동일한 위험을 지녔으나 기대수익이 높거나, 동일한 기대수익을 가져다 주지만 위험이 낮은 포트폴리오는 그렇지 않은 포트폴리오를 지배한다. 이러한 지배원리를 통해 서로 지배할 수 없는 포트폴리오들의 조합을 효율적 투자선이라고 한다. -Wikipedia

 

간단히 말해 투자하고 있는 종목들의 리스크를 줄이기 위해선 여러 종목을 나눠서 투자하는 것이 더 안전하고,

 

만약 같은 수익을 가져다주는 두 포트폴리오가 있으면 위험도가 더 낮은 포트폴리오를 선호하고, 같은 위험도를 가진 두 포트폴리오가 있으면 수익률이 더 높은 포트폴리오를 선호하기 때문에 효율적 투자선이라는 것이 등장했습니다.

 

효율적 투자선의 X축은 Standard Deviation(표준 편차) 즉 위험도, 변동성을 의미합니다. Y축은 수익률을 의미하죠.

예를 들어 지난 1년간 제가 A 주식에 50% 투자하고 B 주식에 50% 투자하고 있다고 가정합시다. 

 

A주식의 연간 수익률 : 10% 연간 표준편차 : 10%

B주식의 연간 수익률 : 20% 연간 표준편차 : 20%

 

현재 제 포트폴리오는 그래프상으로 다음 지점에 있을 것입니다.

 

만약 A 주식에 40%, B 주식에 60%를 투자했다고 한다면, 점은 X축이 0.14, Y축이 0.16에 찍혔을 것입니다. 이처럼 0~100% 까지 비중을 조절하면서 모든 포트폴리오를 점을 찍어보면(공매도가 가능하다고 가정하면 - %까지 가능합니다)  다음과 같이 나올 것입니다.

 

 

이 경우는 A주식과 B주식의 상관계수가 1이기 때문에 직선으로 그려졌지만, 자산들의 상관계수는 서로가 1인 경우가 거의 없기 때문에 대부분 곡선으로 그려집니다. 또한 이 경우는 두 종목만을 했기 때문에 비교적 간단했지만 그 수가 많아진다면 다음과 같은 그래프가 그려질 것입니다.

자산의 수가 5개일 때

A, B, C, D, E에 투자할 때 그림처럼 무수히 많은 점(포트폴리오)이 찍힙니다. 

 

앞서 지배원리는 같은 위험도를 가진 포트폴리오라면 더 높은 수익률을 내는 포트폴리오가 지배하고, 같은 수익률을 가진 포트폴리오라면 더 낮은 위험도를 가진 포트폴리오를 지배하는 것이라고 했습니다. 그렇다면 위의 그림처럼 무수히 많은 점이 찍힐 때 이 지배원리에 입각한 효율적 투자선은 어떻게 그려질까요?

 

 

분산(위험도)을 최소화하는 공식을 통해 수익률을 높여가며 표준편차가 최소인 지점을 찍어 이으면 위 그림처럼 곡선이 생깁니다. GMV는 Global Minimum Variance 포트폴리오로 표준편차가 가장 작은 포트폴리오입니다. 즉, 가장 안전한 포트폴리오라는 것이죠.

 

GMV 점을 구하는 방법은 다음과 같습니다.

 

$ min  \sigma = min \ w^T\Sigma w $

 

이 외에서 Max Sharpe Portfolio, Risk parity Portfolio 가 있습니다만 추후 주제로 다룰 생각입니다.